強制法の具体例まとめ
強制法の具体例などを適当にまとめておきます. 簡単だと思ったところは省きます.
直積でchain conditionが壊れる例
次は簡単に示せる.
定理
半順序$\mathbb{P}$は$\kappa$-chain conditionを持ち, $\Vdash_{\mathbb{P}} \dot{\mathbb{Q}}は{\kappa}$-chain conditionを持つとする.
このとき$\mathbb{P}*\dot{\mathbb{Q}}$は$\kappa$-chain conditionを持つ.さらに逆も言える.
しかし$\mathbb{P}$と$\mathbb{Q}$がchain conditionを持つからと言って,
$\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$がchain conditionを持つとは限らない. 簡単のためにc.c.c.で考える.
定理
$\lnot \mathrm{SH}$を仮定する.
このときあるc.c.c.半順序$\mathbb{P}$, $\mathbb{Q}$が存在して$\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$はc.c.c. をみたさない.
証明は容易で$\omega_{1}$-Suslin木に逆の順序を与えた半順序を$\mathbb{P}$, $\mathbb{Q}$として取れば良い.
$\mathrm{CH}$を強制する
$\mathrm{CH}$を破壊する例は強制法を勉強したことがある人なら必ず知っている.
$\mathrm{CH}$を強制する簡単な方法は(おそらくこれは常識だろうが)私は知らなかったので書いておく.
定理
$\kappa\geq\omega_{1}$とする.
このとき$\mathrm{Fn}(\kappa, 2, \omega_{1})\Vdash\mathrm{CH}$.